1．函数
（1）若函数 在 时取到极值，求实数 得值；
（2）求函数 在闭区间 上的最大值.
2．设函数 ， .
（1）当 时, 取得极值，求 的值；
（2）若 在 内为增函数，求 的取值范围．
3已知函数
（1）若 在 上是减函数，求 的最大值；（2）若 的单调递减区间是 ，求函数y= 图像过点 的切线与两坐标轴围成图形的面积。
4已知函数
（1）若a=4，c=3，求证：对任意 ，恒有 ；
（2）若对任意 ，恒有 ，求证：|a|≤4.
5已知函数 的图象是曲线 ，直线 与曲线 相切于点（1，3）.
（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的递增区间；
（3）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
6用总长 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多 ，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 .
7函数 的定义域为 ，设 ．
（1）求证： ；
（2）确定t的范围使函数 在 上是单调函数；
（3）求证：对于任意的 ，总存在 ，满足 ；并确定
这样的 的个数．
8定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1 、x2 ∈D，都有 <1，则称函数y=f（x）为“Storm函数”．已知函数f（x）=x3-x+a （x∈[-1,1],a∈R）．
（1）当a=2时，求过点（1，2）处的切线方程．
（2）函数f（x）是否为“Storm函数”?如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．
9已知函数 的图象上点P（1，－2）处的切线方程为
（1）若 时有极值，求 的表达式；
（2）若 在区间[－2，0]上单调递增，求实数b的取值范围.
10某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高
科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=4 AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0．1km2）.
11．已知函数 其中 ，
（1）若 在 时存在极值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是增函数，求 的取值范围
12已知函数 .
（1）若函数 的图象上有与 轴平行的切线，求参数 的取值范围;
（2）若函数 在 处取得极值，且 时， 恒成立，求参数 的取值范围.
答案
1. 解：（1）
由 求得 --------------------------------------3分
（2）在 时知 在 上恒减，则 最大值为 10分
2. 解: ，
（1）由题意：
解得 . ………………………………………………3分
（2）方程 的判别式 ,
(1) 当 , 即 时， ,
在 内恒成立, 此时 为增函数；
(2) 当 , 即 或 时，
要使 在 内为增函数, 只需在 内有 即可,
设 ，
由 得 , 所以 .
由(1) (2)可知,若 在 内为增函数， 的取值范围是 .
………………………………………………13
3. 解：（1） = ，由题意可知，
在（0，1）上恒有
则 且 ，得 ，
所以a的最大值为 -1 ……………………………………………………….5分
（2） 的单调递减区间是 ，
= =0的两个根为 和1，
可求得a= -1，
① 若（1，1）不是切点，则设切线的切点为 ， ，
则有
， 解得 （舍）， ， ，k= -1
② 若（1，1）是切点，则k=
综上，切线方程为y=1,x+y-2=0
这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形
它的面积S= …………………………………………………………..13分
4. （1）证明：由a=4，c=3，得 于是
令 ，
所以当 ，
当
所以函数 的增区间为（－1，－ ），（ ，1），减区间（－ ， ），
又
故对任意 ，恒有 ，
即对任意 ，恒有 .…………………………………………7分
（2）证明：由 可得，
，
因此
由
又对任意 ，恒有 ，
所以 ………………………………………………14分
5. 解：（1）∵切点为（1，3），∴ ，得 . 1分
∵ ，∴ ，得 . 2分
则 .
由 得 . 3分
∴ . 4分
(2) 由 得 ，
令 ，解得 或 . 6分
∴函数 的增区间为 ， . 8分
（3） ，
令 得 ， . 10分
列出 关系如下：
0
0 递减 极小值
递增 2
12分
∴当 时， 的最大值为 ，最小值为 . 14分
6. 解：设容器底面长方形宽为 ，则长为 ， ………….. 1分
依题意，容器的高为 ………….. 3分
显然 ，即 的取值范围是 .………….. 5分
记容器的容积为 ，则 .
………….. 7分
求导数得， ………….. 9分
令 ，解得 ； 令 ，解得 .
所以，当 时， 取得最大值1.8，这时容器的长为 . …….. 12分
答：容器底面的长为 m、宽为 m时，容器的容积最大，最大容积为 ... 13分
7. 解：（1）设 ，则 ，所以 ．
（2） ，令 ，得 ．
当 时， 时， ， 是递增函数；
当 时，显然 在 也是递增函数．
∵ 是 的一个极值点，∴当 时，函数 在 上不是单调函数．
∴当 时，函数 在 上是单调函数．
（3）由（1），知 ，∴ ．
又∵ ，我们只要证明方程 在
内有解即可．
记 ，
则 ， ，
∴ ．
①当 时， ，
方程 在 内有且只有一解；
②当 时， ， ，
又 ，∴方程 在 内分别各有一解，方程 在 内两解；
③当 时，方程 在 内有且只有一解 ；
④当 时，方程 在 内有且只有一解 ．
综上，对于任意的 ，总存在 ，满足 ．
当 时，满足 ， 的 有且只有一个；
当 时，满足 ， 的 恰有两个
8. （1）∵ ，∴切线方程为 …………………………（4分）
（2）∵函数 的导数是
当 时，即
当 时，
当 时，
当 时，
故 在 内的极大值是 极小值是
∵ …………………………….（8分）
∴函数 的最大值是 ，最小值是
∴函数 是“Storm函数”
9.
因为函数 处的切线斜率为－3，
所以 …………①
又 ………………② （2分）
（1）函数 有极值，所以 ……③ （4分）
解①②③得a=－2，b=4，c=－3，所以 ……6分
（2）因为函数 在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数 在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，
则 ………………11分
得 ，所以实数b的取值范围为 …………13分
10.
以O为原点，OA所在直线为 轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为
故曲线段OC的方程为
设P（ ） 是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+ ，|PN|=4－ 2．
∴工业园区面积S=|PQ|·|PN|=（2+ ）（4－ 2）=8－ 3－2 2+4 .
∴S′=－3 2－4 +4，令S′=0
又
当 时，S′>0，S是 的增函数；
当 ）时，S′<0，S是 的减函数.
时，S取到极大值，此时|PM|=2+ =
而当
所以当 即|PM|= ， 矩形的面积最大为
答:把工业园区规划成长为 宽为 时,工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）2．
11. 由
（1）①当 不存在极值
②当 恒成立
不存在极值
不存在极值a的范围为
存在极值a的范围为
（2）由 恒成立
①当 恒成立 ∴a=0，
②当
③当
1．若
2．若 为单减函数
综上：①②③得： 上为增函数，
12.解： （1）
依题意，知方程 有实根，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
所以 得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（2）由函数 在 处取得极值，知 是方程
的一个根，所以 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
方程 的另一个根为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
因此，当 ，当
所以， 和 上为增函数，在 上为减函数，┄┄9分
有极大值 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄11分
又 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
恒成立，
编辑者：广州家教（广州家教网)
