23．已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有
零点，求 的取值范围．
24．设函数
（I）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性；
（II）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．
25．设函数
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）求 在区间 的最大值和最小值．
26.已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
27．设二次函数 ，方程 的两根 和 满足 ．
（I）求实数 的取值范围；
（II）试比较 与 的大小．并说明理由．
28．如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 和居民区 的公路，点 所在的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 （ ），且 ，点 到平面 的距离 （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 可供利用．从点 到山脚修路的造价为 万元/km，原有公路改建费用为 万元/km．当山坡上公路长度为 km（ ）时，其造价为 万元．已知 ， ， ， ．
（I）在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点 ，在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小．
（III）在 上是否存在两个不同的点 ， ，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
答案解析
23. 解: 若 , ,显然在上没有零点, 所以
令 得
当 时, 恰有一个零点在 上;
当 即 时, 也恰有一个零点在 上;
当 在 上有两个零点时, 则
或
解得 或
因此 的取值范围是 或 ;
24. 解：（Ⅰ） ，
依题意有 ，故 ．
从而 ．
的定义域为 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．
（Ⅱ） 的定义域为 ， ．
方程 的判别式 ．
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值．
（ⅱ）若 ，则 或 ．
若 ， ， ．
当 时， ，当 时， ，所以 无极值．
若 ， ， ， 也无极值．
（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根 ， ．
当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极值．
当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值．
综上， 存在极值时， 的取值范围为 ．
的极值之和为
．
25. 解： 的定义域为 ．
（Ⅰ） ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
从而， 分别在区间 ， 单调增加，在区间 单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 在区间 的最小值为 ．
又 ．
所以 在区间 的最大值为 ．
26.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同．
， ，由题意 ， ．
即 由 得： ，或 （舍去）．
即有 ．
令 ，则 ．于是
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
故 在 为增函数，在 为减函数，
于是 在 的最大值为 ．
（Ⅱ）设 ，
则 ．
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是 ．
故当 时，有 ，即当 时， ．
27. 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令 ，
则由题意可得 ．
故所求实数 的取值范围是 ．
（II） ，令 ．
当 时， 单调增加， 当 时，
，即 ．
解法2：（I）同解法1．
（II） ，由（I）知 ，
．又 于是
，
即 ，故 ．
解法3：（I）方程 ，由韦达定理得
， ，于是
．
故所求实数 的取值范围是 ．
（II）依题意可设 ，则由 ，得
，故 ．
28.
解：（I）如图， ， ， ，
由三垂线定理逆定理知， ，所以 是
山坡与 所成二面角的平面角，则 ，
．
设 ， ．则
．
记总造价为 万元，
据题设有
当 ，即 时，总造价 最小．
（II）设 ， ，总造价为 万元，根据题设有
．
则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 在 内是减函数；
当 时， ， 在 内是增函数．
故当 ，即 （km）时总造价 最小，且最小总造价为 万元．
（III）解法一：不存在这样的点 ， ．
事实上，在 上任取不同的两点 ， ．为使总造价最小， 显然不能位于 与 之间．故可设 位于 与 之间，且 = ， ， ，总造价为 万元，则 ．类似于（I）、（II）讨论知， ， ，当且仅当 ， 同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时 ， ， 取得最小值 ，点 分别与点 重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当 且 ，即 同时成立时， 取得最小值 ，以上同解法一．
编辑者：广州家教（广州家教网)
