11．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ．
12．已知函数
在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ．
（1）证明 ；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
13．设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
14．设函数 ，其中 ．
证明：当 时，函数 没有极值点；当 时，函数 有且只有一个极值点，并求出极值．
15．设函数f(x)= 其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
16．已知 在区间[0,1]上是增函数,在区间 上是减函数,又
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)若在区间 (m＞0)上恒有 ≤x成立,求m的取值范围.
17. 已知函数 ，常数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
18.已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
19．设函数 .
(Ⅰ)当x=6时,求 的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明 ＞
(Ⅲ)是否存在 ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
答案解析
11. 解：（1）求函数 的导数； ．
曲线 在点 处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使
．
于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当 变化时， 变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根．
综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，则
即 ．
12. 解：求函数 的导数 ．
（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是 的两个根．
所以
当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．
（Ⅱ）在题设下， 等价于 即 ．
化简得 ．
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线： ．
所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ．
在这三点的值依次为 ．
所以 的取值范围为 ．
13. 解：（Ⅰ）由题意知， 的定义域为 ，
设 ，其图象的对称轴为 ，
．
当 时， ，
即 在 上恒成立，
当 时， ，
当 时，函数 在定义域 上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点．
② 时， 有两个相同的解 ，
时， ，
时， ，
时，函数 在 上无极值点．
③当 时， 有两个不同解， ， ，
时， ， ，
即 ， ．
时， ， 随 的变化情况如下表：
极小值
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，
当 时， ，
，
此时， ， 随 的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ；
综上所述：
时， 有惟一最小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时， 无极值点．
（Ⅲ）当 时，函数 ，
令函数 ，
则 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又 ．
时，恒有 ，即 恒成立．
故当 时，有 ．
对任意正整数 取 ，则有 ．
所以结论成立．
14. 证明：因为 ，所以 的定义域为 ．
．
当 时，如果 在 上单调递增；
如果 在 上单调递减．
所以当 ，函数 没有极值点．
当 时，
令 ，
将 （舍去）， ，
当 时， 随 的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，
函数 有且只有一个极小值点，极小值为 ．
当 时， 随 的变化情况如下表：
0
极大值
从上表可看出，
函数 有且只有一个极大值点，极大值为 ．
综上所述，
当 时，函数 没有极值点；
当 时，
若 时，函数 有且只有一个极小值点，极小值为 ．
若 时，函数 有且只有一个极大值点，极大值为 ．
15. 解：（Ⅰ） 的定义域为 ， 恒成立， ，
，即当 时 的定义域为 ．
（Ⅱ） ，令 ，得 ．
由 ，得 或 ，又 ，
时，由 得 ；
当 时， ；当 时，由 得 ，
即当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ．
16. 解：（Ⅰ） ，由已知 ，
即 解得
， ， ， ．
（Ⅱ）令 ，即 ，
， 或 ．
又 在区间 上恒成立， ．
17. 解：（1）当 时， ，
对任意 ， ， 为偶函数．
当 时， ，
取 ，得 ，
，
函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设 ，
，
要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立．
，即 恒成立．
又 ， ．
的取值范围是 ．
解法二：当 时， ，显然在 为增函数．
当 时，反比例函数 在 为增函数，
在 为增函数．
当 时，同解法一．
18．
解： （1） ，
，
．
原不等式的解为 ．
（2）当 时， ，
对任意 ， ，
为偶函数．
当 时， ，
取 ，得 ，
，
函数 既不是奇函数，也不是偶函数． 19. （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对 和 进行比较。
令 ，有
由 ，得
因为当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以在 处 有极小值
故当 时， ，
从而有 ，亦即
故有 恒成立。
所以 ，原不等式成立。
（Ⅲ）对 ，且
有
又因 ，故
∵ ，从而有 成立，
即存在 ，使得 恒成立。
编辑者：广州家教（广州家教网)
