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广州家教:高一数学反函数同步测试


来源:广州家教老师 日期:2018/7/12
一、选择题: 
1.设函数f(x)=1- (-1≤x≤0),则函数y=f-1(x)的图象是 (    ) 
A.         y B.  y       1 C.   y D. y      1
              1                     x      1                  O            x
 
                      -1                                  -1
    -1      O    x                         O         1   x 
2.函数y=1- (x≥1)的反函数是
(    ) 
A.y=(x-1)2+1,x∈R B.y=(x-1)2-1,x∈R 
C.y=(x-1)2+1,x≤1 D.y=(x-1)2-1,x≤1 
3.若f(x-1)= x2-2x+3 (x ≤1),则f-1(4)等于
(    ) 
   A.            B.1-         C.-        D. -2  
4.与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是
(    ) 
   A.y=-f(x)       B.y= f-1(x)        C.y =-f-1(x)      D.y =-f-1(-x)    
5.设函数 ,则 的定义域为  (    ) 
A. B. C.  D.  
6.若函数 的反函数是 , ,则 等于 (    ) 
A.              B.            C. D.  
7.已知函数 的反函数就是 本身,则 的值为            (    ) 
A.              B.1             C.3              D.  
8.若函数 存在反函数,则方程                  (    ) 
A.有且只有一个实数根 B.至少有一个实数根  
C.至多有一个实数根 D.没有实数根 
9.函数f(x)=- • (x≤-1)的反函数的定义域为 (    ) 
A.(-∞,0] B.(-∞,+∞) 
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 
10.若函数f(x)的图象经过点(0,-1),则函数f(x+4)的反函数的图象必经过点 (    ) 
A.(-1,4) B.(-4,-1) C.(-1,-4) D.(1,-4) 
11.函数f(x)=  (x≠0)的反函数f-1(x)= (    )  
A.x(x≠0) B.  (x≠0) C.-x(x≠0) D.-  (x≠0) 
12、点(2,1)既在函数f(x)= 的图象上,又在它的反函数的图象上,则适合条件的数组(a,b)有 (    ) 
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 
二、填空题: 
13.若函数f(x)存在反函数f-1(x),则f-1[f(x)]=___          ; f[f-1(x)]=___       __. 
14.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)= -1(x≥0),那么函数f(x)的定义域为__      _. 
15.设f(x)=x2-1(x≤-2),则f-1(4)=__              ________. 
16.已知f(x)=f-1(x)= (x≠-m),则实数m =                         . 
三、解答题: 
17.(1)已知f(x) = 4x-2x+1 ,求f-1(0)的值. 
   (2)设函数y= f(x)满足 f(x-1) = x2-2x+3 (x ≤ 0),求 f-1(x+1).
 
 
 
 
 
 
 
18.判断下列函数是否有反函数,如有反函数,则求出它的反函数.
(1) ;   
(2) .
(3) 
 
 
 
 
 
19.已知f(x)=  
    (1)求y=f(x)的反函数 y= f-1 (x)的值域;
    (2)若(2,7)是 y = f-1 (x)的图象上一点,求y=f(x)的值域.
 
 
 
 
 
20.已知函数 ,
(1)求 及其 ;    
(2)求 的反函数.
 
 
 
 
 
 
21.己知  (x≥1), 
(1)求 的反函数 ,并求出反函数的定义域; 
(2)判断并证明 的单调性.
 
 
 
 
 
 
 
22.给定实数a,a≠0,且a≠1,设函数  .试证明:这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.
 
 
 
参考答案
 
一、选择题: DCCDD  ACCAC  BA
二、填空题:13.x,x,14.x≥-1,15.- ,16.m=-2  
三、解答题:
17.解析:(1)设f-1(0)=a,即反函数过(0,a), ∴原函数过(a,0).
代入得 :0=4a-2a+1   ,2a(2a-2)=0,得a=1,∴f  =1.
(2)先求f(x)的反函数 .
18.解析:⑴令 得到对应的两根: 
这说明函数确定的映射不是一一映射,因而它没有反函数.
⑵由  ,得 
∵ ,∴  ,
互换 得 
又由 的值域可得反函数定义域为 
∴反函数为  .
⑶由 得其反函数为 ;
     又由 得其反函数为 .
    综上可得,所求的反函数为 .
注:求函数 的反函数的一般步骤是:
⑴反解,由 解出 ,写出 的取值范围;
⑵互换 ,得 ;
⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域).
⑷求分段函数的反函数,应分段逐一求解;分段函数的反函数也是分段函数.
19.解析:
(1)反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域.∴反函数的值域为{y|y }
(2)∵(2,7)是y=f-1(x)的图象上一点,∴(7,2)是y=f(x)上一点.
∴ 
∴f(x)的值域为{y|y≠2}.
20.解析:⑴∵ ,
∴ ,其值域为 ,
 又由  得 ,
∴ ,  ∴ .
⑵由 ,解得 
∴ 的反函数为  .
说明: 并不是 的反函数,而是 的反函数.
题中有 的形式,我们先求出 ,才能求出 .
21.解析:⑴ ,
即 的定义域为 ;
⑵设 ,
 ,即 在 上单调递增.
22、证法一:
 
 ……①
 
 
由①式得
 ……②
 
由此得a=1,与已知矛盾, 
又由②式得    
这说明点P′(y′,x′)在已知函数的图象上,因此,这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.
证法二:先求所给函数的反函数:由
 
y(ax-1)=x-1,
(ay-1)x=y-1.
  
ax-a=ax-1,
由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.
因此得到
 
由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,所以函数
 的图象关于直线y=x成轴对称图形. 
 
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