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广州家教:高一数学下学期第三阶段测试卷


来源:广州家教中心 日期:2018/7/23
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分).
1.函数 的最小正周期T=             .
2.若过点 和 的直线与直线 平行,则 =        .
3.等差数列 中, ,那么 的值是          .
4.直线 经过一定点,则此点是           
5.不等式 的解集是           .
6.已知a= ,b= ,若 ,则λ=         
7.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个
几何体的全面积为           .
8.已知两个球的表面积之比为1∶ ,则这两个球的半径之比为           .
9.与 都相切,且过点(1,8)的圆的圆心坐标为           .
10. 已知圆C的方程为 ,若 , 两点一个在圆C的内部,一个在
圆C的外部,则实数a的取值范围是           .
11.若 ,则 的值为                .
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90o,
AB=BC=AA1=2,点D是A1C1的中点,则异面直线     
AD和BC1所成角的大小为           .
13.若经过点P(-1,0)的直线与圆 相切,则这条直线在y轴上
的截距是           .
14.如图,一个圆锥形容器的高为 ,内装有一定量的水.
如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为 (如图2-②),
则图2-①中的水面高度为                .
 
 
二、解答题(本大题共6小题,共90分.)
15.(本题满分14分)如图,在平行四边形 中,点 .
(1)求 所在直线的斜率;
(2)过点C做CD⊥AB于点D,求 所在直线的方程.
 
 
16.(本题满分14分)已知 的周长为 ,且 .
(I)求边 的长;
(II)若 的面积为 ,求角 的度数.
 
 
17. (本题满分16分)如图,三棱锥 中, 是边长为4的正三角形, ,
E为AB的中点, .
(Ⅰ) 求证:平面 ; 
(Ⅱ) 求直线 和平面CDE所成的角的正切;
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
 
 
18.(本题满分14分)已知等比数列 , , 
(1)求通项 ;
(2)若 ,数列 的前 项的和为 ,且 ,求 的值.
 
 
19.(本题满分16分)在直角坐标系 中,以 为圆心的圆与直线 相切.
(1)求圆 的方程;
(2)圆 与 轴相交于 两点,圆内的动点 使 成等比数列,
求 的取值范围.
 
 
20.(本题满分16分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,
AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,
又BO=2,PO= , PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且 为何值时,PC⊥平面BMD.
 
 
 
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷答题纸
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分).
1.        2.         3.24        4.       5.      6.  
7.        8.1:3       9. 或           10.           11. 
12.        13.1         14. 
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分14分)
解: (1)  点O(0,0),点C(1,3),
  OC所在直线的斜率为 .     
(2)在 中, ,
  CD⊥AB,
  CD⊥OC. 
  CD所在直线的斜率为 .       
 CD所在直线方程为 
 .                    
16.(本题满分14分)
解:(I)由题意及正弦定理,得 ,
 ,
两式相减,得 .
(II)由 的面积 ,得 ,
由余弦定理,得 
   ,所以 .
 
 
 
 
17. (本题满分16分)
(1)略证: ;
 
 
(2)作AF⊥DE于F点,可证AF长即为所求,AD=3,AE=2, , , ;
(3)等体积法:BD=DC=5,BC=4, , ,
 , 。 
18.(本题满分14分)
 
(1) 
(2)由(1)可知 ,故 ,所以 
 
19.(本题满分16分)
解:(1)依题设,圆 的半径 等于原点 到直线 的距离,
.得圆 的方程为 .
(2)不妨设 .由 即得 .设 ,由 成等比数列,得 ,即
   
由于点 在圆 内,故 由此得 .所以 的取值范围为 .
 
 
 
 
 
 
 
 
20.(本题满分16分) 
(1) ,DO=1,取AB中点E,连DE,故DE//BC,连PE,故 (或其补角)为异面直线PD与BC所成角, ,
 。
(2)连OE,PE,可证得 为二面角P-AB-C的平面角, , 。
(3) , 。
若 面BMD,则 , , ,
 。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
本题满分16分)如图,平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与
直线PC所成的角为60°,又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°       
(Ⅰ)求证:AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的平面角的正切值;(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.
 
 
 
 
在正三角形ABC中,E、F分别是AB、
AC边上的点,满足  (如图1).
将△AEF沿EF折起到 的位置,使二           
面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1C.
(如图2)
(1)求证:A1E⊥平面BEC;
(2)求直线A1E与平面A1BC所成角的大小
 
 
如图,在四棱锥 中, 底面 , 
 , , 是 的中点.
(Ⅰ)求 和平面 所成的角的大小;
(Ⅱ)证明 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的正弦值..
(Ⅰ)解:在四棱锥 中,因 底面 , 平面 ,故 .
又 , ,从而 平面 .故 在平面 内的射影为 ,从而 为 和平面 所成的角.
在 中, ,故 .
所以 和平面 所成的角的大小为 .
(Ⅱ)证明:在四棱锥 中,
因 底面 , 平面 ,故 .
由条件 , , 面 .
又 面 , .
由 , ,可得 .
 是 的中点, ,
 .综上得 平面 .
(Ⅲ)解:过点 作 ,垂足为 ,连结 .由(Ⅱ)知, 平面 , 在平面 内的射影是 ,则 .
因此 是二面角 的平面角.
由已知,可得 .设 ,可得
 , , , .
在 中, , ,则
 .
在 中, .
所以二面角 的大小 .
 
                                         命题、校对:孟素红
(Ⅰ)∵平面 平面 , , 平面 .
∴ 平面 
又∵ 平面 
∴ 
(Ⅱ)取 的中点 ,则 .连接 、 .
∵平面 平面 ,平面 平面 , .
∴ 平面 .
∵ ,∴ ,从而 平面 .
作 于 ,连结 ,则由三垂线定理知 .
从而 为二面角 的平面角.
∵直线 与直线 所成的角为60°,
∴  .
在 中,由勾股定理得 .
在 中, .
在 中, .
在 中, 
故二面角 的大小为 
(Ⅱ)如图以 为原点建立空间直角坐标系 .
   设  ,
有 , , .
 , 
由直线 与直线 所成的角为60°,得
 
即 ,解得 .
∴ , 
设平面 的一个法向量为 ,则
由 ,取 ,得 
取平面 的一个法向量为 
则  
由图知二面角 为锐二面角,故二面角 的大小为 .
(Ⅲ)多面体 就是四棱锥 
 .
 
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO= ,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且 为何值时,PC⊥平面BMD.
 
 
 
 
 
 
 
 
(06全国二)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.
(Ⅰ)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;
(Ⅱ)设AA1=AC=2AB,求二面角A1-AD-C1的大小.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷参考答案
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
一 填空题
1.{1};   2.一;   3. ;   4. ;   5. ;   6.56;    7. ; 
8.16;   9.2;   10. ;   11.1;    12.  ;    13. 4∶1;     14.  
二 解答题
 
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分).
1.函数 的最小正周期T=             .
2.若过点 和 的直线与直线 平行,则 =           .
3.等差数列 中, ,那么 的值是          .
4.直线 经过一定点,则此点是           
5.不等式 的解集是           .
6.已知a= ,b= ,若 ,则λ=         
7.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个
几何体的全面积为           .
8.已知两个球的表面积之比为1∶ ,则这两个球的半径之比为           .
9.与 都相切,且过点(1,8)的圆的圆心坐标为           .
10. 若 ,则 的值为               .
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90o,
AB=BC=AA1=2,点D是A1C1的中点,则异面直线     
AD和BC1所成角的大小为           .
12.若经过点P(-1,0)的直线与圆 相切,则这条直线在y轴上的截距是           .
13.已知圆C的方程为 ,若 , 两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是           .
14.如图,一个圆锥形容器的高为 ,内装有一定量的水.
如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为 (如图2-②),
则图2-①中的水面高度为                .
 
 
 
 
 
 
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题14分)如图,在平行四边形 中,点 .
(1)求 所在直线的斜率;
(2)过点C做CD⊥AB于点D,求 所在直线的方程.
 
 
 
 
 
 
16.(本题14分)已知 的周长为 ,且 .
(I)求边 的长;
(II)若 的面积为 ,求角 的度数.
解:(I)由题意及正弦定理,得 ,
 ,
两式相减,得 .
(II)由 的面积 ,得 ,
由余弦定理,得 
   ,
所以 .
17. (本小题满分16分)
如图,三棱锥 中, 是边长为4的正三角形, ,E为AB的中点, .
(Ⅰ) 求证:平面 ; 
(Ⅱ) 求直线 和平面CDE所成的角的正切;
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
 
 
 
18.(本题满分14分)已知等比数列 , , 
(1)求通项 ;
(2)若 ,数列 的前 项的和为 ,且 ,求 的值.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(本题满分16分)在直角坐标系 中,以 为圆心的圆与直线 相切.
(1)求圆 的方程;
(2)圆 与 轴相交于 两点,圆内的动点 使 成等比数列,求 的取值范围.
解:(1)依题设,圆 的半径 等于原点 到直线 的距离,
.得圆 的方程为 .
(2)不妨设 .由 即得 .设 ,由 成等比数列,得 ,即
   
由于点 在圆 内,故 由此得 .所以 的取值范围为 .
 
 
20.(本题满分16分)如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD= ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
(1) 求证:ADBC
(2) 求二面角B-AC-D的余弦值。
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角?
若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由

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