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广州家教:师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)


来源:广州家教中心 日期:2018/8/19
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.若集合M={x|﹣2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=(  )
A.(﹣2,+∞) B.(﹣2,3) C.[1,3) D.R
2.若复数 (α∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 =(2,1), =10,| + |= ,则| |=(  )
A. B. C.5 D.25
4.已知cos( )= ,则sin(2 )的值为(  )
A. B. C.﹣ D.﹣ 
5.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小一份为(  )
A. B. C. D. 
6.等比数列{ }中, >0,则“ < ”是“ < ”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=﹣x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴相切于原点,且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则a的值为(  )
 
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
8.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)= ,若f(x)在[﹣1,0]上是减函数,记a=f(log0.52),b=f(log24),c=f(20.5),则(  )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c
9.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增,则实数a的取值范围是(  )
A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]
10.已知数列{an}满足:2an=an﹣1+an+1(n≥2),a1=1,且a2+a4=10,若Sn为数列{an}的前n项和,则 的最小值为(  )
A.4 B.3 C. D. 
11.已知函数f(x)= (其中e为自对数的底数),则y=f(x)的图象大致为(  )
A. B. C. D. 
12.定义在R上的函数f(x)满足:f'(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)
 
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c, ,则tanB=  .
14.已知x,y满足 ,且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2,则a的值是  .
15.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是  海里.
16.{an}满足an+1=an+an﹣1(n∈N*,n≥2),Sn是{an}前n项和,a5=1,则S6=  .
 
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD= ,AC= ,cos∠ADB=﹣ 
(1)求sin∠C的值;
(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.
 
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= +1(n≥2).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn< .
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c, ,∠BAC=θ,a=4.
(1)求bc的最大值;  
(2)求函数 的值域.
20.(12分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2•a3=15,S4=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}满足b1=a1, .
①求数列{bn}的通项公式;
②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=ex.(其中e是自然对数的底数)
(Ⅰ)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求证:x0=1;
(Ⅱ)令 ,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.
 
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆C的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+2y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
 
选修4-5:不等式选讲
23.已知m,n都是实数,m≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
(Ⅰ)若f(x)>2,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立,求实数x的取值范围.
 
 
 
2016-2017学年福建省师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.若集合M={x|﹣2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=(  )
A.(﹣2,+∞) B.(﹣2,3) C.[1,3) D.R
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】先将N化简,再求出M∩N.
【解答】解:N={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}=[1,+∞),
∵M={x|﹣2<x<3}=(﹣2,3),
∴M∩N=[1,3)
故选C.
【点评】本题考查了集合的含义、表示方法,集合的交集的简单运算,属于基础题.本题中N表示的是函数的值域.
 
2.若复数 (α∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】转化思想;定义法;数系的扩充和复数.
【分析】化简复数 ,根据纯虚数的定义求出a的值,写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标,即可得出结论.
【解答】解:复数 = =(a+1)+(﹣a+1)i,
该复数是纯虚数,∴a+1=0,解得a=﹣1;
所以复数2a+2i=﹣2+2i,
它在复平面内对应的点是(﹣2,2),
它在第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题,也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题,是基础题.
 
3.已知向量 =(2,1), =10,| + |= ,则| |=(  )
A. B. C.5 D.25
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.
【专题】平面向量及应用.
【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|= 两边平方,变化为有模长和数量积的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可.
【解答】解:∵| + |= ,| |= 
∴( + )2= 2+ 2+2 =50,
得| |=5
故选C.
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.
 
4.已知cos( )= ,则sin(2 )的值为(  )
A. B. C.﹣ D.﹣ 
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】用已知角表示未知角,再结合二倍角公式即可求得sin(2 )的值.
【解答】解:∵cos( )= ,
则sin(2 )=﹣sin(2α+ )=﹣sin[2(α+ )+ ]=﹣cos2(α+ )
=﹣[2cos2(α+ )﹣1]=﹣[ ﹣1]= ,
故选:B.
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
 
5.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小一份为(  )
A. B. C. D. 
【考点】等差数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d(d>0),根据条件列出方程求出a和d的值,从而得最小一份的值.
【解答】解:设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,(其中d>0);
∵把100个面包分给5个人,
∴(a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,得a=20,
∵使较大的三份之和的 是较小的两份之和,
∴ (a+a+d+a+2d)=a﹣2d+a﹣d,得3a+3d=7(2a﹣3d),
化简得24d=11a,∴d= = ,
所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2× = ,
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用,解题时应巧设数列的中间项,从而容易得出结果,属于基础题.
 
6.等比数列{ }中, >0,则“ < ”是“ < ”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】先用等比数列的通项公式,表示出 < ,进而可判断 < 不一定成立;同时根据 <a3成立可知 q2< q5,进而推断出 < ,判断出必要条件.最后综合可得答案.
【解答】解:如果 < ,∴ < q2∴q2>  1,
若q<﹣1,则 = q2>0, = q5<0   ∴ > ,
∴“ < ”不是“ <a6”的充分条件;
如果 <a6成立,则 q2< q5,又a1>0,
∴1<q3   ∴q>1,
∴ <a2< ,
故可判断,“ < ”是“ < ”的必要条件.
综合可知,“ < ”是“ < ”必要而不充分条件.
故选B.
【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件,充分条件与充要条件的判断.
 
7.已知函数f(x)=﹣x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴相切于原点,且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则a的值为(  )
 
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【考点】定积分.
【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;导数的概念及应用.
【分析】由x=0是f(x)=0的一个极值点,可得f′(0)=0,求得b的值,确定出f(x)的解析式,由于阴影部分面积为 ,利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可
【解答】解:由f(x)=﹣x3+ax2+bx,得f′(x)=﹣3x2+2ax+b.
∵x=0是原函数的一个极值点,
∴f′(0)=b=0.
∴f(x)=﹣x2(x﹣a),有∫a0(x3﹣ax2)dx=( )|a0=0﹣ + = = ,
∴a=±1.
函数f(x)与x轴的交点横坐标一个为0,另一个a,根据图形可知a<0,得a=﹣1.
故选:C
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及定积分的运算法则,同时考查了计算能力和识图能力,属于中档题.
 
8.(2016•红桥区二模)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)= ,若f(x)在[﹣1,0]上是减函数,记a=f(log0.52),b=f(log24),c=f(20.5),则(  )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】确定函数是周期为2的周期函数,f(x)在[0,1]上单调递增,并且a=f(log0.52)=f(log22)=f(1),b=f(log24)=f(2)=f(0),c=f(20.5),即可比较出a,b,c的大小.
【解答】解:∵f(x+1)= ,∴f(x+2)=f(x),
∴函数是周期为2的周期函数;
∵f(x)为偶函数,f(x)在[﹣1,0]上是减函数,
∴f(x)在[0,1]上单调递增,并且a=f(log0.52)=f(log22)=f(1),b=f(log24)=f(2)=f(0),c=f(20.5).
∵0<1<20.5,
∴b<c<a.
故选:B.
【点评】考查偶函数的定义,函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,1]上,根据单调性去比较函数值大小.
 
9.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增,则实数a的取值范围是(  )
A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】综合题;函数思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由函数的图象平移求得函数g(x)的解析式,进一步求出函数(x)的单调增区间,结合函数g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增列关于a的不等式组求解.
【解答】解:将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,
得g(x)=2cos2(x﹣ )=2cos(2x﹣ ),
由 ,得 .
当k=0时,函数的增区间为[ ],当k=1时,函数的增区间为[ ].
要使函数g(x)在区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增,
则 ,解得a∈[ , ].
故选:A.
【点评】本题考查三角函数的图象变换,考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.
 
10.已知数列{an}满足:2an=an﹣1+an+1(n≥2),a1=1,且a2+a4=10,若Sn为数列{an}的前n项和,则 的最小值为(  )
A.4 B.3 C. D. 
【考点】数列递推式.
【专题】综合题;转化思想;转化法;等差数列与等比数列.
【分析】由数列递推式:2an=an﹣1+an+1(n≥2)得到{an}为等差数列,由等差数列的求和公式求出其前n项和,代入整理,根据数列的函数特征,求出最小值.
【解答】解:数列{an}满足:2an=an﹣1+an+1(n≥2),
∴{an}为等差数列,
∵a1=1,且a2+a4=10,设公差为d,
∴1+d+1+3d=10,
解得d=2,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,
∴sn= =n2,
∴ = = = =n+1+ ﹣2
设f(x)=x+1+ ,
则f′(x)=1﹣ = ,
当0<x< ﹣1,f′(x)<0,函数单调递减,
当x> ﹣1,f′(x)>0,函数单调递增,
∴当x= ﹣1时,函数f(x)取的最小值,
即当n=2时,n+1+ ﹣2的最小值,即为3+ ﹣2= 
故 的最小值为 ,
故选:D
【点评】本题考查了数列递推式,关键是由递推式构造出等比数列,考查了对勾函数的图象和性质,是有一定难度题目.
 
11.(2014•泰安二模)已知函数f(x)= (其中e为自对数的底数),则y=f(x)的图象大致为(  )
A. B. C. D. 
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】构造函数,令分母为g(x),研究函数g(x)的单调性和值域情况,从而得出函数f(x)图象分布情况,判断选项.
【解答】解:令g(x)=ex﹣2x﹣1,g′(x)=ex﹣2,∴g(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)h 上单调递增,
又∵g(ln2)=1﹣2ln2<0,∴g(x)有两个实数解,
∵g(0)=0,g(1)=e﹣3<0,g(2)=e2﹣5>0,∴x1=0,x2∈(1,2),
且当x<0时,g(x)>0,∴f(x)>0,
当x1<x<x2时,g(x)<0,∴f(x)<0,
当x>x2时,g(x)>0,∴f(x)>0,∴只有选项C符合.
故选:C.
【点评】本题考查函数图象的分布情况,即:定义域、单调性,正负性,属于中档题.
 
12.(2015•怀化二模)定义在R上的函数f(x)满足:f'(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)
【考点】导数的运算;其他不等式的解法.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】构造函数g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
【解答】解:设g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f'(x)>1﹣f(x),
∴f(x)+f′(x)﹣1>0,
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+5,
∴g(x)>5,
又∵g(0)=e0f(0)﹣e0=6﹣1=5,
∴g(x)>g(0),
∴x>0,
∴不等式的解集为(0,+∞)
故选:A.
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
 
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(2015•房山区二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c. ,则tanB=   .
【考点】正弦定理;同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;解三角形.
【分析】根据正弦定理,算出sinB= = ,由b<a得B是锐角,利用同角三角函数的平方关系算出cosB= ,再用商数关系算出tanB= ,即可得到本题答案.
【解答】解:∵ 
∴由正弦定理 ,得sinB= = 
∵b<a可得B是锐角,
∴cosB= = ,
因此,tanB= = = 
故答案为: 
【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角,求另一个角的正切之值,着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识,属于基础题.
 
14.已知x,y满足 ,且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2,则a的值是   .
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;转化法;不等式.
【分析】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域,由z=2x﹣y可得y=2x﹣z,则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小,可求Z的最大值与最小值,即可求解a.
【解答】解:由题意可得,B(1,1)
∴a<1,不等式组表示的平面区域如图所示的△ABC,
 ,
由z=2x﹣y可得y=2x﹣z,则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小,
作直线L:y=2x,把直线向可行域平移,
当直线经过A时z最小,
由 ,可得A(a,2﹣a),此时Z=3a﹣2,
当直线经过点B时,z最大,B(1,1),
此时z=1,
故 =﹣2,解得:a= ,
故答案为: .
【点评】线性规划是高考重要内容,也是常考内容.此题考查该知识点增加一点变化,比较好.
 
15.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是   海里.
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题.
【分析】先根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值,进而可得到∠ACB的值,最后根据正弦定理可得到BC的值.
【解答】解:如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,
从而∠ACB=45°.
在△ABC中,由正弦定理可得   .
故答案为:10 .
 
【点评】本题主要考查正弦定理的应用,考查对基础知识的掌握程度,属于中档题.
 
16.(2016•温岭市模拟){an}满足an+1=an+an﹣1(n∈N*,n≥2),Sn是{an}前n项和,a5=1,则S6= 4 .
【考点】数列递推式.
【专题】计算题;函数思想;待定系数法;点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】设a4=k,结合数列递推式及a5=1求得其它项,作和求得S6 .
【解答】解:设a4=k,由an+1=an+an﹣1,得a3=a5﹣a4=1﹣k,
a2=a4﹣a3=k﹣(1﹣k)=2k﹣1,a1=a3﹣a2=(1﹣k)﹣(2k﹣1)=2﹣3k,
a6=a5+a4=1+k,
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(2﹣3k)+(2k﹣1)+(1﹣k)+k+1+(1+k)=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查数列递推式,考查了数列的函数特性,设出a4是关键,是中档题.
 
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)(2016•安庆校级模拟)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD= ,AC= ,cos∠ADB=﹣ 
(1)求sin∠C的值;
(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.
 
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】数形结合;数形结合法;解三角形.
【分析】(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB,由∠C=∠ADB﹣ .利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解.
(2)先由正弦定理求AD的值,再利用三角形面积公式求得BD,与余弦定理即可得解AB的长度.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADB=﹣ ,则sin∠ADB= ,
∠CAD= ,则∠C=∠ADB﹣ ,
sin∠C=sin(∠ADB﹣ )=sin∠ADB•cos ﹣sin cos∠ADB=  + = ,
(2)在三角形△ACD中, ,
AD= = =2 ,
∴S= AD•BD•sin∠ADB= •2 BD =7,
∴BD=5,
由余弦定理可知:AD2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB,
∴AD= .
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值,正弦定理,三角形面积公式等知识的综合应用,考查了数形结合能力和转化思想,考查了计算能力,属于中档题.
 
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= +1(n≥2).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn< .
【考点】数列递推式;数列的求和.
【专题】综合题;函数思想;转化法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)由数列递推式可得 ,然后利用累积法求得数列通项公式;
(Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入bn= ,然后利用裂项相消法求和,放缩得答案.
【解答】(Ⅰ)解:当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2,
当n=3时,2S3=4a3+1,解得a3=3.
当n≥3时,2Sn=(n+1)an+1,2Sn﹣1=nan﹣1+1,
以上两式相减,得2an=(n+1)an﹣nan﹣1,
∴ ,
∴ = ,
∴ ;
(Ⅱ)证明:bn= = ,
当n=1时, ,
当n≥2时, ,
∴  .
∴Tn< .
【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.
 
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c, ,∠BAC=θ,a=4.
(1)求bc的最大值;  
(2)求函数 的值域.
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.
【专题】三角函数的图像与性质;解三角形.
【分析】(1)由题意可得bc•cosθ=8,代入余弦定理可得b2+c2=32,由基本不等式可得b2+c2≥2bc,进而可得bc的最大值;
(2)结合(1)可得cosθ≥ ,进而可得θ的范围,由三角函数的知识可得所求.
【解答】解:(1)∵ =bc•cosθ=8,
由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16,
∴b2+c2=32,又b2+c2≥2bc,
∴bc≤16,即bc的最大值为16,
当且仅当b=c=4,θ= 时取得最大值;
(2)结合(1)得, =bc≤16,∴cosθ≥ ,
又0<θ<π,∴0<θ≤ ,
∴ =2sin(2θ+ )﹣1
∵0<θ≤ ,∴ <2θ+ ≤ ,∴ sin(2θ+ )≤1,
当2θ+ = ,即θ= 时,f(θ)min=2× ,
当2θ+ = ,即θ= 时,f(θ)max=2×1﹣1=1,
∴函数f(θ)的值域为[0,1]
【点评】本题考查余弦定理以及三角函数的值域,涉及平面向量数量积的定义,属中档题.
 
20.(12分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2•a3=15,S4=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}满足b1=a1, .
①求数列{bn}的通项公式;
②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
【考点】数列递推式.
【专题】综合题;函数思想;转化法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列{an}的通项公式代入 ,然后裂项,累加后即可求得数列{bn}的通项公式;
②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列,则b2+bn=2bm.由此列关于m的方程,求解得答案.
【解答】解:(I)设数列{an}的公差为d,则d>0.
由a2•a3=15,S4=16,得 ,
解得  或 (舍去).
an=2n﹣1;
(Ⅱ)①∵b1=a1, ,
∴b1=a1=1,
 = = ( ﹣ ),
即b2﹣b1= (1﹣ ),b3﹣b2= ( ﹣ ),…,bn﹣b﹣1= ( ﹣ ),(n≥2)
累加得:bn﹣b1= (1﹣ )= ,
∴bn=b1+ =1+ = .
b1=1也符合上式.
故bn= ,n∈N*.        
②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列,
则b2+bn=2bm.
又b2= ,bn= = ﹣ ,bm= ﹣ ,
∴ +( ﹣ )=2( ﹣ ),即 = + ,
化简得:2m= =7﹣ .
当n+1=3,即n=2时,m=2,(舍去);
当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.
∴存在正整数m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差数列.
【点评】本题考查数列递推式,考查了等差数列通项公式的求法,训练了裂项相消法及累加法求数列的通项公式,考查存在性问题的求法,是中档题.
 
21.(12分)(2016•南昌校级二模)已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=ex.(其中e是自然对数的底数)
(Ⅰ)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求证:x0=1;
(Ⅱ)令 ,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(I)先对函数求导, ,可得切线的斜率 = 
,即 ,由x0=1是方程的解,且y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,可证
(Ⅱ)由 , ,先研究函数 ,则 .
由h'(x)在(0,1]上是减函数,可得h'(x)≥h'(1)=2﹣a,通过研究2﹣a的正负可判断h(x)的单调性,进而可得函数F(x)的单调性,可求
【解答】解:(I) (x>0).  …(2分)
过切点P(x0,y0)的切线的斜率 = 
整理得 .…(4分)
显然,x0=1是这个方程的解,又因为y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解.故x0=1.…(6分)
(Ⅱ) , .…(8分)
设 ,则 .
易知h'(x)在(0,1]上是减函数,从而h'(x)≥h'(1)=2﹣a.   …(10分)
(1)当2﹣a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,h(x)在区间(0,1)上是增函数.
∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恒成立.
∴F(x)在区间(0,1]上是减函数.
所以,a≤2满足题意.            …(12分)
(2)当2﹣a<0,即a>2时,设函数h'(x)的唯一零点为x0,
则h(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减.又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.
又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣ea+lne﹣a<0,
∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x',
当x∈(0,x')时,h(x)<0,当x∈(x',1)时,h(x)>0.
从而F(x)在(0,x')递减,在(x',1)递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾.
∴a>2不合题意.
综合(1)(2)得,a≤2.           …(15分)
【点评】考查学生利用导数研究函数的单调能力,函数单调性的判定,以及导数的运算,试题具有一定的综合性.
 
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆C的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+2y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
【考点】简单曲线的极坐标方程;函数的最值及其几何意义.
【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;坐标系和参数方程.
【分析】(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.利用互化公式可得直角坐标方程,再利用同角三角函数的平方关系可得圆C的参数方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,设点P(2+ cosθ,2+ sinθ),可得x+2y=6+5 ,设sinα= ,则 ,可得x+2y=6+5sin(θ+α),再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值.
【解答】解:(Ⅰ)∵圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.
∴直角坐标方程为:x2+y2﹣4x﹣4y+3=0,
即(x﹣2)2+(y﹣2)2=5为圆C的普通方程.
利用同角三角函数的平方关系可得:圆C的参数方程为 (θ为参数).
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,设点P(2+ cosθ,2+ sinθ),
∴x+2y=2+ cosθ+2(2+ )=6+5 
设sinα= ,则 ,
∴x+2y=6+5sin(θ+α),
当sin(θ+α)=1时,(x+2y)max=11,此时,θ+α= ,k∈Z.
∴sinθ=cosα= ,cosθ=sinα= .
点P的直角坐标为(3,4)时,x+2y取得最大值11.
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数的单调性与值域、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
选修4-5:不等式选讲
23.已知m,n都是实数,m≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.
(Ⅰ)若f(x)>2,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立,求实数x的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用绝对值的意义,|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标,从而得出结论.
(2)转化不等式为2|x﹣1|+|x﹣2|≤ ,利用函数恒成立以及绝对值的几何意义,求出x的范围即可.
【解答】解:(1)由f(x)>2,即|x﹣1|+|x﹣2|>2.
而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,
而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为 和 ,
故不等式|x﹣1|+|x﹣2|>2的解集为﹛x|x< 或x> ﹜,
(2)由题知,|x﹣1|+|x﹣2|≤ 恒成立,
故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于 的最小值.
∵|m+n|+|m﹣n|≥|m+n+m﹣m|=2|m|,当且仅当 (m+m)(m﹣m)≥0 时取等号,
∴ 的最小值等于2,∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解.
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,
又由于数轴上的 、 对应点到1和2对应点的距离之和等于2,
故不等式的解集为[ , ].
【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义,绝对值不等式的解法,判断数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为 和 ,是解题的关键.考查转化思想的应用.
 

编辑者:广州家教广州家教网)