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广州家教:珠海二中2017-2018 学年度第一学期期中高三文科数学考试


来源:广州家教中心 日期:2018/9/3
一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.已知集合M=x x  4,N=  2 x y  log x ,则M N  ( )
A.4, B.,4 C.0,4 D.0,4
2.已知复数z 满足z 1i 1i ,则 z  ( )
A. i B.1 C. i D.1
3.命题“ 2 xR, x  4x  4  0 ”的否定是 ( )
A. 2 xR, x  4x  4  0 B. 2 xR, x  4x  4  0
C. 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0 D. 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0
4.已知等比数列  n a 的公比为正数,前n 项和为n S , 1 2 3 4 a  a  2,a  a  6,则 8 S 等于( )
A.81 27 3 B.54 C. 8 3 1 D.80
5.已知平面向量a  (1,0),
1 3
( , )
2 2
b   ,则a与a b的夹角为 ( )
A.
6
B.
3
C.
3

D.
6

6.函数2 f (x)  (3 x )  ln x 的大致图象为 ( )
7.多面体MN  ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)
视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM 的长为 ( )
 
p
n 1,S  0
S  p?
1
2n S  S 
n  n 1
n
A. 3 B. 5 C. 6
D.2 2
8.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为o 60 ,30 ,此时气球的高是60m,
则河流的宽度BC 等于 ( )
A.30 3 B.30 3 1 C.40 3 D.40 3 1
9.设a,b是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正.确.的是 ( )
A.若a // ,b // ,则a // b B.若a  ,b  ,a // b,则 //
C.若a / /b,b / / ,a / / ,则 // D.若a  ,a   ,b   ,则b 
10.执行如图所示的程序框图后,输出的值为4 ,则p 的取值范围
是 ( )
A.
3 7
4 8
 p  B.
5
16
p 
C.
7 5
8 16
 p  D.
7 5
8 16
 p 
11.设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
 
 
   
所确定的平面区域,在D 内存在
无数个点落在y=a(x+2)上,则a 的取值范围是 ( )
A.R B.(
1
3
,1) C.(0,
1
3
) D.(﹣∞,0]∪[
1
3
,+∞)
12.设 f  x是定义在R 上周期为 2的函数,且对任意的实数x,恒有 f x  f x  0,当x0 ,1
时,   2 f x   1 x ,则函数     1 x g x  f x  e  在区间2018 ,2018上零点的个数为 ( )
A.2017 B.2018 C.4034 D.4036
二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分.)
13.已知
1
cos( )
3 3
  ( )
2
0   ,则sin(  )  .
第7 题图
 
14.已知矩形 ABCD, AB  2,BC 1,则BDCD  .
15.已知0 x 函数3 f (x)  x 12x的极小值点,则 0 x = .
16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,
现有这样一个整除问题:将2 至2018 这2017 个数中,能被3 除余1 且被5 除余1 的数,按由小到
大的顺序排成一列,构成数列  n a ,则此数列的项数为 .
三、解答题(本大题共6 小题,满分70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21
题为必考题,每个试题考生都须作答.第22、23 题为选考题,考生只选其一作答.)
17.(本小题满分12 分)已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
    .
(Ⅰ)求函数 f (x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图
象向左平移
3
个单位,得到函数 y  g(x)的图象,求 )
6
(
g 的值.
18.(本小题满分12 分)已知数列  n a 与  n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b      , * n N , 2 1 nb  n  ,
且1 a  2.
(Ⅰ)求数列  n a 的通项公式;
(Ⅱ)设
1
n
n
n n
n
a
c
b   , n T 为数列  n c 的前n 项和,求n T .
 
P
A B
D C
M
19.(本小题满分12 分)2017 年年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60 分,最高分100 分)将这些连锁店分别评定为
A,B,C,D 四个类型,其考核评估标准如下表:
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得
其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)评分类型为A 的商业连锁店有多少家;
(Ⅱ)现从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机
抽取两家做分析,求这两家来自同一评分类型的概率.
20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥P ABCD中,
平面 PAD  平面 ABCD , AB//CD , PAD 是等边三角形,已知
BD 2AD8, AB  2DC  4 5.
(Ⅰ)设M 是线段PC上的一点,证明:平面BDM 平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥P ABCD的体积.
21.(本小题满分12 分)已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
 R .
(Ⅰ) 当a=0 时,求曲线f(x)在x =1 处的切线方程;
(Ⅱ) 设函数h(x)  aln x  x  f (x),求函数h(x)的极值;
(Ⅲ) 若g(x)  aln x  x在[1,e](e=2.718 28…)上存在一点x0,使得 0 0 g(x )  f (x )成立,
求a 的取值范围.
 
请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为  4cos  0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系,直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
(I)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程;
(II)设直线l与曲线C交于A,B 两点,求 MA  MB .
23.(本小题满分10 分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) | x m|  | 2x 1| (mR).
(I)当m 1时,求不等式 f (x)  2的解集;
(II)设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A,且
3
[ , 2]
4
 A,求实数m的取值范围.
 
珠海市斗门区第一中学2017-2018 学年度第一学期期中考试
高 三 年级 (文数)试题
考试时间 120 分钟,总分 150 分, 命题人: 审题人:
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将
条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准
使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、
错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1、已知集合M=x x  4,N=  2 x y  log x ,则M N ( )D
A.4, B.,4 C.0,4 D.0,4
2、已知复数z 满足z 1i 1i ,则 z ( )B
A. i B.1 C. i D.1
3、命题“ 2 xR, x  4x  4  0 ”的否定是( )C
A. 2 xR, x  4x  4  0 B. 2 xR, x  4x  4  0
C. 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0 D. 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0
 
4、已知等比数列an的公比为正数,前n项和为Sn,a1  a2  2,a3  a4  6,则 8 S 等于( )D
A.81 27 3 B.54 C. 8 3 1 D.80
5、已知平面向量a  (1,0),
1 3
( , )
2 2
b   ,则a与a b的夹角为( )B
A.
6
B.
3
C.
3

D.
6

6、函数2 f (x)  (3 x )  ln x 的大致图象为( )C
7、多面体MN  ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)
视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM 的长为( )C
A. 3 B. 5
C. 6 D.2 2
8、如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为o 60 ,30 ,此时气球的高是60m,
则河流的宽度BC 等于( )C
A.30 3 B.30 3 1 C.40 3 D.40 3 1
9、设a,b是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )D
A.若a // ,b // ,则a // b B.若a  ,b  ,a // b,则 //
C.若a / /b,b / / ,a / / ,则 // D.若a  ,a   ,b   ,则b 
 
10、执行如图所示的程序框图后,输出的值为4 ,则p 的取值范围是( )A
A.
3 7
4 8
 p  B.
5
16
p  C.
7 5
8 16
 p  D.
7 5
8 16
 p 
11、设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
 
 
   
所确定的平面区域,在D 内存在无数个点落在y=a(x+2)上,
则a 的取值范围是( )C
A.R B.(
1
3
,1) C.(0,
1
3
) D.(﹣∞,0]∪[
1
3
,+∞)
12、设 f  x是定义在R 上周期为 2的函数,且对任意的实数x,恒有 f x  f x  0,当x0 ,1
时,   2 f x   1 x ,则函数     1 x g x  f x  e  在区间2018 ,2018上零点的个数为( )B
A.2017 B.2018 C.4034 D.4036
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分.)
13、已知
1
cos( )
3 3
  ( )
2
0   ,则sin(  )  . 3 2 2
6
14、已知矩形 ABCD, AB  2,BC 1,则BDCD  .4
15、已知0 x 是函数3 f (x)  x 12x的极小值点,则 0 x = .2
16、“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,
现有这样一个整除问题:将2 至2018 这2017 个数中,能被3 除余1 且被5 除余1 的数,按由小到
大的顺序排成一列,构成数列  n a ,则此数列的项数为 . 134
p
n 1,S  0
S  p?
1
2n S  S 
n  n 1
n
 
三、解答题(本大题共6 小题,满分70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21
题为必考题,每个试题考生都须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.)
17、(本小题满分12 分)已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
    .
(1)求函数 f (x)的单调递增区间;
(2)把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象
向左平移
3
个单位,得到函数 y  g(x)的图象,求 )
6
(
g 的值.
解:(1) 2 ( ) 2cos( )sin (sin cos ) sin 2 cos2 2
2
f x x x x x x x
      
2 sin(2 ) 2
4
x
   ……3 分
由2 2 2  ,
2 4 2
k x k k Z
  
        得  
3
,
8 8
k x k k Z
 
       ……5分
所以 f (x)的单调递增区间是  
3
, ,
8 8
k k k Z
 
 
 
    
 
……6 分
(2)由(1)知( ) 2 sin(2 ) 2
4
f x x
   把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵
坐标不变),得到2 sin( ) 2
4
y x
   的图象,再把得到的图象向左平移
3
个单位,得到
( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
   的图象, ……10 分
即( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
   ,所以( ) 3
6
g
 . ……12 分
18、(本小题满分12 分)已知数列  n a 与  n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b      , * n N , 2 1 nb  n  ,
且1 a  2.
(Ⅰ)求数列  n a 的通项公式;
(Ⅱ)设
1
n
n
n n
n
a
c
b   , n T 为数列  n c 的前n 项和,求n T .
解:(Ⅰ)因为1 1 2( ) n n n n a a b b      , 2 1 nb  n  ,
所以1 1 2( ) 2(2 1 2 1) 4 n n n n a a b b n n           , ……2 分
 
所以an是等差数列,首项为a1  2,公差为4,即 4 2 na  n  . ……5 分
(Ⅱ)
1 1
(4 2)
(2 1) 2
(2 1)
n n
n n
n n n
n
a n
c n
b n  
    
. ……6 分
∴ n 1 2 3 n T  c  c  c … c 2 3 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n       … n   ,①
2 3 4 1 2 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n        …   ,② ……8分
① ②得:
2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 n n
nT n         …    
1
1 4(1 2 )
2 2 (2 1) 2
1 2
n
n n
   
      
  
1 6 (2 3) 2n n       , ……11 分
∴ 1 6 (2 3) 2n
nT n      . ……12 分
19、(本小题满分12 分)2017 年年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60 分,最高分100 分)将这些连锁店分别评定为
A,B,C,D 四个类型,其考核评估标准如下表:
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)评分类型为A 的商业连锁店有多少家;
(Ⅱ)现从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析,求这两家来自同一评
分类型的概率
解:(Ⅰ)评分类型为A的商业连锁店所占的频率为0.020 ? 10 0.2,
所以评分类型为A 的商业连锁店共有0.2 ? 20 4家;……………….4 分
(Ⅱ)依题意评分类型为D 的商业连锁店有3 家,
设评分类型为A 的4 商业连锁店为1 2 3 4 a ,a ,a ,a ,
评分类型为D 的3 商业连锁店为1 2 3 b ,b ,b ,……………………….6 分
从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 1 a ,a , a ,a , a ,a , a ,b , a ,b , a ,b , a ,a , a ,a , a ,b ,
( ) ( ) 2 2 2 3 a ,b , a ,b ,( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 1 3 2 3 3 a ,a , a ,b , a ,b , a ,b ,( ) 4 1 a ,b ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 3 1 2 1 3 2 3 a ,b , a ,b , b ,b , b ,b , b ,b 共21种,………………….10分
其中满足条件的共有9 种,……………………….11 分
所以这两家来自同一评分类型的概率为
9 3
21 7
= .……………………….12 分
20、(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥P ABCD中,平面PAD 平面ABCD, AB//CD,
PAD是等边三角形,已知BD 2AD8, AB  2DC  4 5.
(Ⅰ)设M 是线段PC上的一点,证明:平面BDM 平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥P ABCD的体积.
P
A B
D C
M
 
(Ⅰ)证明:在△ABD中, AD  4,BD  8, AB  4 5,
∵ 2 2 2 AD  BD  AB
  ADB  90 ,即 AD  BD.………………2分
又平面PAD 平面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD AD,
BD  平面ABCD,
 BD  平面PAD ,………………………………………………………………4 分
又BD  平面MBD,
平面MBD  平面PAD …………………………………………………………5 分
(Ⅱ)解:过P 作PO  AD交 AD于O,
又∵平面PAD 平面 ABCD,平面PAD 平面ABCD AD,PO 平面PAD,
 PO  平面ABCD…………………………………………………………………6 分
线段PO为四棱锥P ABCD的高,………………………………………………8 分
在四边形 ABCD中,∵ AB∥DC,AB  2DC ,
四边形 ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边 AB 边上的高为
4 8 8 5
4 5 5
 ,
即梯形ABCD的高为
5
8 5
,………………………………………………10 分
梯形ABCD的面积为
2 5 4 5 8 5
24
2 5
S
   ………………………………11 分
1
24 2 3 16 3
3 P ABCD V      .…………………………………………………12 分
21、(本小题满分12 分)已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
 R .
(Ⅰ) 当a=0 时,求曲线f(x)在x =1 处的切线方程;
(Ⅱ) 设函数h(x)  aln x  x  f (x),求函数h(x)的极值;
(Ⅲ) 若g(x)  aln x  x在[1,e](e=2.718 28…)上存在一点x0,使得 0 0 g(x )  f (x )成立,
求a 的取值范围.
解:(Ⅰ) 当a=0 时,f (x) =
1
x
, f (1) =1, 则切点为(1, 1),………………………1
P
A B
D C
M
O
 
2
1
f (x)
x
   , ∴切线的斜率为k  f (1)  1, ……………………………………2 分
∴曲线f (x)在点(1, 1)处的切线方程为y1= ( x1),即x+ y2=0…………………3 分
(Ⅱ)依题意
1
( ) ln
a
h x a x x
x
   ,定义域为(0, +∞),
2
2 2 2
1 (1 ) ( 1)[ (1 )]
( ) 1
a a x ax a x x a
h x
x x x x
      
        , ……………………4 分
①当a+1>0,即 a>1时,令h(x)  0,∵x>0,∴0<x<1+ a,
此时,h(x) 在区间(0, a+1)上单调递增
令h(x)  0,得 x>1+ a.
此时,h(x)在区间(a+1,+∞)上单调递减. ……………………………………5 分
②当a+1≤0,即 a≤1时,h(x)  0恒成立, h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. ………6分
综上,当a>1时,h(x)在 x=1+a处取得极大值 h(1+a)=aln(1 a)  a  2,无极小值;
当a≤1 时,h(x)在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7 分
(Ⅲ) 依题意知,在[1, e]上存在一点x0,使得0 0 g(x )  f (x )成立,
即在[1, e]上存在一点x0,使得h(x0)≥0,
故函数
1
( ) ln
a
h x a x x
x
   在[1, e]上,有h(x)max≥0. ………………………………8 分
由(Ⅱ)可知,①当a+1≥e, 即a≥e1 时,h(x)在[1, e]上单调递增,
∴ max
1
( ) (e) e 0
e
a
h x h a
     , ∴
e2 1
e 1
a
,
e2 1
e 1
e 1
 
,∴
e2 1
e 1
a
. ………………………………………………………9 分
②当0<a+1≤1,或a≤1,即a≤0 时,h(x)在[1, e]上单调递减,
∴ max h(x)  h(1)  11 a  0,∴a ≤2. ……………………………………………10分
③当1<a+1<e,即0<a<e1 时,
由(Ⅱ)可知,h(x)在x=1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值,
即 h(x)max=h(1+a)=aln(1 a)  a  2  a[ln(1 a) 1] 2,
∵0<ln(a+1)<1, ∴h(1+a)<0 在[1, e]上恒成立,
此时不存在x0 使h(x0)≥0 成立.……………………………………………………………11 分
综上可得,所求a 的取值范围是
e2 1
e 1
a
或a≤2. ……………………………………12 分
请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
 
22、(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为  4cos  0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系,直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B 两点,求 MA  MB .
解:(1)对于C:由2 2 2   4cos得  4 cos,x  y  4x ……2分
对于l : 有  
3
1
2
1
2
x t
t
y t
为参数
  
 

……4 分
(2)设A,B 两点对应的参数分别为1 2 t , t
将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程2 2 x  y  4x  0
2
2 3 1 3
1+ 4 1 0
2 4 2
t t t
   
           
   
化简得2 t  3t 3  0 ……6分
 
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
3, 3
4 15
t t t t
MA MB t t t t t t t t
    
         
……10 分
23、(本小题满分12 分)选修4-5:不等式选讲[
已知函数 f (x) | x m|  | 2x 1| (mR).
(I)当m 1时,求不等式 f (x)  2的解集;
(II)设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A,且
3
[ , 2]
4
 A,求实数m的取值范围.
解:(I)当m 1时, f (x) | x 1|  | 2x 1|,
f (x)  2 | x 1|  | 2x 1| 2,
 
上述不等式可化为
1
2
1 1 2 2
x
x x
 
     
1
1
2
1 2 1 2
x
x x
  
     
1
1 2 1 2
x
x x
 
    
解得
1
2
0
x
x
 
  
1
1
2
2
x
x
  
  
1
4
3
x
x
 
 
……………………………………3 分
1
0
2
 x  或
1
1
2
 x  或
4
1
3
 x  , ……………………… ……………4分
∴原不等式的解集为
4
{ | 0 }
3
x  x  .……………………………………………5 分
(II)∵ f (x) | 2x 1|的解集包含
3
[ , 2]
4
∴当
3
[ , 2]
4
x 时,不等式 f (x) | 2x 1|恒成立,…………………………………6分
即| x m|  | 2x 1|| 2x 1|在
3
[ , 2]
4
x  上恒成立,
∴| x m| 2x 1 2x 1,
即| x m| 2,∴2  xm 2,………………………………………………7 分
∴x2 m x2在
3
[ , 2]
4
x  上恒成立,…………………………………8 分
∴ max min (x  2)  m (x  2) , ∴
11
0
4
  m  ,
所以实数m的取值范围是
11
[ ,0]
4
 .………………………………………………10 分

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