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广州家教:师大附中高三(上)期中 数学试卷(理科)


来源:广州家教中心 日期:2019/1/17
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数 的虚部(  )
A.i B.﹣i C.1 D.﹣1
2.已知集合 ,则A∩B=(  )
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(﹣∞,0]∪(1,+∞) D.[0,1]
3.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ ,则f(﹣1)=(  )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
4.在区间[0,π]上随机取一个数x,使 的概率为(  )
A. B. C. D. 
5.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 的夹角为(  )
A. B. C. D. 
6.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|<1”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.二项式(x2﹣ )11的展开式中,系数最大的项为(  )
A.第五项 B.第六项 C.第七项 D.第六和第七项
8.根据如图所示程序框图,若输入m=42,n=30,则输出m的值为(  )
A.0
B.3
C.6
D.12
9.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(  )
A.3×44 B.3×44+1
C.44    D.44+1
10.若α∈( ,π)且3cos2α=4sin( ﹣α),则sin2α的值为(  )
A. B.﹣ C.﹣ D. 
11.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有(  )
A.24种 B.48种 C.36种 D.28种
12.已知函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,且f(0)=﹣1,数列{an}是以 为公差的等差数列,若f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,则 =(  )
A.2016 B.2015 C.2014 D.2013
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13.将高三(1)班参加体检的36名学生,编号为:1,2,3,…,36,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生,则样本中剩余一名学生的编号是  .
14.已知 ,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=  .
15.袋子中装有大小相同的6个小球,2红4白,现从中有放回的随机摸球3次,每次摸出1个小球,则至少有2次摸出白球的概率为  .
16.已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为  .
 
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(a,c), =(1﹣2cosA,2cosC﹣1), ∥ 
(Ⅰ)若b=5,求a+c值;
(Ⅱ)若 ,且角A是△ABC中最大内角,求角A的大小.
18.(12分)中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛,种子选手A与非种子选手B1,B2,B3分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,A获胜的概率分别为 ,且各场比赛互不影响.
(Ⅰ)若A至少获胜两场的概率大于 ,则A入选征战里约奥运会的最终名单,否则不予入选,问A是否会入选最终的名单?
(Ⅱ)求A获胜场数X的分布列和数学期望.
19.(12分)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足 
(Ⅰ)求证:{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求证: .
20.(12分)已知函数f(x)=x﹣2sinx.
(Ⅰ)求函数f(x)在 上的最值;
(Ⅱ)若存在 ,使得不等式f(x)<ax成立,求实数a的取值范围.
21.(12分)已知函数 ,其中a,b,c∈R.
(Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=0,且当x≥0时,f(x)≥1总成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)若a>0,b=0,若f(x)存在两个极值点x1,x2,求证;f(x1)+f(x2)<e.
 
[选作题]
22.(10分)已知函数f(x)=|x﹣a|﹣2.
(Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)+|2x﹣3|>0的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|x﹣3|恒成立,求实数a的取值范围.
 
[选作题]
23.(Ⅰ)已知x2+y2=1,求2x+3y的取值范围;
(Ⅱ)已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0,求证: .
 
 
 
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数 的虚部(  )
A.i B.﹣i C.1 D.﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.
【解答】解:复数 = =1﹣i的虚部为﹣1.
故选:D.
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
 
2.已知集合 ,则A∩B=(  )
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(﹣∞,0]∪(1,+∞) D.[0,1]
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;函数思想;定义法;集合.
【分析】先分别求出集合A和B,由此能求出A∩B.
【解答】解:∵集合 ,
∴A={x|x≤0或x>1},B={y|y≥1},
∴A∩B=(1,+∞).
故选:A.
【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.
 
3.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ ,则f(﹣1)=(  )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由奇函数定义得,f(﹣1)=﹣f(1),根据x>0的解析式,求出f(1),从而得到f(﹣1).
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),f(﹣1)=﹣f(1),
又当x>0时,f(x)=x2+ ,
∴f(1)=12+1=2,∴f(﹣1)=﹣2,
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用,主要是奇函数的定义及运用,解题时要注意自变量的范围,正确应用解析式求函数值,本题属于基础题.
 
4.在区间[0,π]上随机取一个数x,使 的概率为(  )
A. B. C. D. 
【考点】几何概型.
【专题】计算题;方程思想;演绎法;概率与统计.
【分析】先求出不等式 对应的解集,结合几何概型的概率公式进行求解即可.
【解答】解:∵0≤x≤π, ,
∴ ≤x≤ π,区间长度为 ,
则对应的概率P= = ,
故选:B.
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键.
 
5.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 的夹角为(  )
A. B. C. D. 
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】作 , ,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则 = .由| + |=| ﹣ |=2| |,可得四边形OACB为矩形,利用 = 即可得出.
【解答】解:作 , ,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则 = .
∵| + |=| ﹣ |=2| |,
∴四边形OACB为矩形,
∴ = = ,
∴向量 + 与 的夹角为 .
故选:B.
 
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
6.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|<1”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】充要条件.
【专题】阅读型.
【分析】先根据[x]的定义可知,[x]=[y]⇒|x﹣y|<1,而取x=1.9,y=2.1,此时满足|x﹣y|=0.2<1,但[x]≠[y],根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可.
【解答】解:[x]=[y]⇒﹣1<x﹣y<1即|x﹣y|<1
而取x=1.9,y=2.1,此时|x﹣y|=0.2<1,而[x]=1,[y]=2,[x]≠[y]
∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|<1”的充分而不必要条件
故选A
【点评】判断充要条件的方法是:
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.
⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.
 
7.二项式(x2﹣ )11的展开式中,系数最大的项为(  )
A.第五项 B.第六项 C.第七项 D.第六和第七项
【考点】二项式系数的性质.
【专题】二项式定理.
【分析】在二项展开式的通项公式中,根据二项式的展式的通项公式为Tr+1= •x22﹣3r,可得系数最大的项.
【解答】解:二项式(x2﹣ )11的展式的通项公式为 Tr+1= •x22﹣2r•(﹣1)r•x﹣r = •x22﹣3r,
故当r=6时,展开式的系数 =  最大,
故选:C.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.
 
8.根据如图所示程序框图,若输入m=42,n=30,则输出m的值为(  )
 
A.0 B.3 C.6 D.12
【考点】程序框图.
【专题】计算题;操作型;算法和程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环体后,r=12,m=30,n=12,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足退出循环的条件;
第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足退出循环的条件;
故输出的m值为6,
故选:C;
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.
 
9.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(  )
A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1
【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】根据已知的an+1=3Sn,当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1,两者相减,根据Sn﹣Sn﹣1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列除去第1项,从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列,由a1=1,an+1=3Sn,令n=1,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通项公式,把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.
【解答】解:由an+1=3Sn,得到an=3Sn﹣1(n≥2),
两式相减得:an+1﹣an=3(Sn﹣Sn﹣1)=3an,
则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,
得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,
所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2(n≥2)
则a6=3×44.
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式,是一道基础题.
 
10.若α∈( ,π)且3cos2α=4sin( ﹣α),则sin2α的值为(  )
A. B.﹣ C.﹣ D. 
【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由条件化简可得 3(cosα+sinα)=2 ,平方可得1+sin2α= ,从而解得sin2α的值.
【解答】解:∵α∈( ,π),且3cos2α=4sin( ﹣α),
∴3(cos2α﹣sin2α)=4( cosα﹣ sinα),
化简可得:3(cosα+sinα)=2 ,
平方可得1+sin2α= ,解得:sin2α=﹣ ,
故答案为:C.
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题.
 
11.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有(  )
A.24种 B.48种 C.36种 D.28种
【考点】排列、组合的实际应用.
【专题】排列组合.
【分析】由题意知先使五个人的全排列,共有A55种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果
【解答】解:由题意知先使五个人的全排列,共有A55=120种结果.
穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况,有2A22A44=96种,
穿红色相邻且穿黄色也相邻情况,有A22A22A33=24种,
故:穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48,
故选:B.
【点评】本题是一个简单计数问题,在解题时注意应用排除法,从正面来解题时情况比较复杂,所以可以写出所有的结果,再把不合题意的去掉,属于基础题.
 
12.(2016•上饶二模)已知函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,且f(0)=﹣1,数列{an}是以 为公差的等差数列,若f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,则 =(  )
A.2016 B.2015 C.2014 D.2013
【考点】等差数列的通项公式;导数的运算.
【专题】方程思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列.
【分析】函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,可设f(x)=2x﹣cosx+c,利用f(0)=﹣1,可得:f(x)=2x﹣cosx.由数列{an}是以 为公差的等差数列,可得an=a2+(n﹣2)× .由f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,化简可得6a2﹣ = .利用单调性可得a2,即可得出.
【解答】解:∵函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,
可设f(x)=2x﹣cosx+c,
∵f(0)=﹣1,∴﹣1+c=﹣1,可得c=0.
∴f(x)=2x﹣cosx.
∵数列{an}是以 为公差的等差数列,
∴an=a1+(n﹣1)× ,
∵f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,
∴2(a2+a3+a4)﹣(cosa2+cosa3+cosa4)=3π,
∴6a2+ ﹣cosa2﹣ ﹣ =3π,
∴6a2﹣ = .
令g(x)=6x﹣cos ﹣ ,
则g′(x)=6+sin 在R上单调递增,
又 =0.
∴a2= .
则 = =2015.
故选:B.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13.将高三(1)班参加体检的36名学生,编号为:1,2,3,…,36,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生,则样本中剩余一名学生的编号是 15 .
【考点】系统抽样方法.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间距为36÷4=9,
则另外一个编号为6+9=15,
故答案为:15.
【点评】本题主要考查系统抽样的应用,求出样本间隔是解决本题的关键.
 
14.已知 ,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= 512 .
【考点】二项式定理的应用.
【专题】转化思想;综合法;二项式定理.
【分析】|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|,即(1+x)9展开式的各项系数和,令x=1,可得(1+x)9展开式的各项系数和.
【解答】解:已知 ,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|,即(1+x)9展开式的各项系数和,
令x=1,可得(1+x)9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512,
故答案为:512.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,求展开式的系数和常用的方法是赋值法,属于基础题.
 
15.袋子中装有大小相同的6个小球,2红4白,现从中有放回的随机摸球3次,每次摸出1个小球,则至少有2次摸出白球的概率为   .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】对应思想;转化法;概率与统计.
【分析】每次摸到红球的概率都是 ,摸到白球的概率都是 ,由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出至少有2次摸出白球的概率.
【解答】解:∵袋子中装有大小相同的6个小球,2红4白,现从中有放回的随机摸球3次,每次摸出1个小球,
∴每次摸到红球的概率都是 ,摸到白球的概率都是 ,
∴至少有2次摸出白球的概率为:
p= ( )( )2+ ( )3= ,
故选答案为: .
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用.
 
16.(2015•唐山一模)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为 [4,12] .
【考点】三角函数的最值.
【专题】三角函数的图像与性质;不等式的解法及应用.
【分析】x2+2xy+4y2=6变形为 =6,设 , ,θ∈[0,2π).代入z=x2+4y2,利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出.
【解答】解:x2+2xy+4y2=6变形为 =6,
设 , ,θ∈[0,2π).
∴y= sinθ,x= ,
∴z=x2+4y2= 
= +6
=2×(1﹣cos2θ)﹣ +6
= ,
∵ ∈[﹣1,1].
∴z∈[4,12].
故答案为:[4,12].
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(a,c), =(1﹣2cosA,2cosC﹣1), ∥ 
(Ⅰ)若b=5,求a+c值;
(Ⅱ)若 ,且角A是△ABC中最大内角,求角A的大小.
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用平面向量平行的性质,正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB,由正弦定理及已知即可得解.
(Ⅱ)由已知利用倍角公式,同角三角函数基本关系式可求sinB,cosB的值,可求2sinA+cosA=2,联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值,结合A是最大角,即可得解A的值.
【解答】(本大题满分12分)
解:(Ⅰ)因为: ,
所以,2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA,
可得:2sinAcosC+2sinCcosA=2sin(A+C)=sinC+sinA,
所以,sinA+sinC=2sinB,
由正弦定理得2b=a+c=10.….6分
(Ⅱ) ,
又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin(π﹣A﹣B),
则,2sinA+cosA=2,
又sin2A+cos2A=1,
所以,解得 ,
由于A是最大角,
所以, .….12分
【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质,正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,倍角公式,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
 
18.(12分)中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛,种子选手A与非种子选手B1,B2,B3分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,A获胜的概率分别为 ,且各场比赛互不影响.
(Ⅰ)若A至少获胜两场的概率大于 ,则A入选征战里约奥运会的最终名单,否则不予入选,问A是否会入选最终的名单?
(Ⅱ)求A获胜场数X的分布列和数学期望.
【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
【专题】综合题;方程思想;演绎法;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)利用相互独立事件的概率公式,结合条件,即可求解;
(Ⅱ)据题意,X的可能值为0、1、2、3,求出概率,列出分布列,然后求解期望.
【解答】解:(Ⅰ)记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3  = 
所以,A入选最终名单….6
(Ⅱ)X的可能值为0、1、2、3
 
所以,X的分布列为
X 0 1 2 3
P
 
 
 
 
所以,数学期望: …..12
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,考查计算能力.
 
19.(12分)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足 
(Ⅰ)求证:{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求证: .
【考点】数列递推式;数列的求和.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出.
(2)通过放缩,利用数列的单调性即可证明.
【解答】证明:(1)∵满足 ,
当n=1时,a1=2.
当n≥2时,  
由(1)﹣(2)得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣4)=0(an>0)
则an﹣an﹣1=4,∴{an}是以4为公差的等差数列.an=4n﹣2.
(2)证明:
 
设 ,则f(n+1)﹣f(n)<0
所以,{f(n)}递减, 
即: …12.
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、“放缩”法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
20.(12分)已知函数f(x)=x﹣2sinx.
(Ⅰ)求函数f(x)在 上的最值;
(Ⅱ)若存在 ,使得不等式f(x)<ax成立,求实数a的取值范围.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【专题】转化思想;分类法;导数的综合应用.
【分析】(1)求出导函数,得出极值点,根据极值点求闭区间函数的最值;
(2)不等式整理得出2sinx﹣(1﹣a)x>0,构造函数,根据导函数进行分类讨论,即最大值大于零即可.
【解答】(本大题满分12分)
(1)f'(x)=1﹣2cosx, …(2分)
x
 
 
 
 
 
 
 
y' + 0 0 +
y
极大值 极小值
 
 …(6分)
(2)f(x)<ax,
∴2sinx﹣(1﹣a)x>0
设g(x)=2sinx﹣(1﹣a)x,则g'(x)=2cosx﹣(1﹣a)…(7分)
由 
①1﹣a≥2即a≤﹣1,此时g'(x)<0得出g(x)在 单调递减,g(x)<g(0)=0不成立…(8分)
②1﹣a≤0即a≥1,此时g'(x)>0得出g(x)在 单调递增,g(x)>g(0)=0成立…(9分)
③0<1﹣a<2即﹣1<a<1,令 ,存在唯一 ,使得 .当x∈(0,x0)时,g'(x)>0得出g(x)>g(0)=0,
∴存在 ,有g(x)>0成立…(11分)
综上可知:a>﹣1…(12分)
【点评】考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想.
 
21.(12分)已知函数 ,其中a,b,c∈R.
(Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=0,且当x≥0时,f(x)≥1总成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)若a>0,b=0,若f(x)存在两个极值点x1,x2,求证;f(x1)+f(x2)<e.
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【专题】函数思想;转化法;导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)问题转化为bx+1≥0在[0,+∞)恒成立,通过讨论b的范围集合函数的单调性从而求出b的范围即可;
(Ⅲ)求出函数的导数,构造新的函数,根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(Ⅰ) ,
f'(x)>0⇒x>1或x<0,f'(x)<0⇒0<x<1,
∴f(x)增区间为(﹣∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).…(4分)
(Ⅱ) 在[0,+∞)恒成立⇒b≥0…
当b≥0时,f(x)≥1⇔ex﹣bx﹣1≥0.设g(x)=ex﹣bx﹣1,g'(x)=ex﹣b
①当0≤b≤1时,g'(x)≥0⇒g(x)在[0,+∞)单调递增,⇒g(x)≥g(0)=0成立
②当b>1时,g'(x)=0⇔x=lnb,当x∈(0,lnb)时,
g'(x)<0⇒g(x)在(0,lnb)单调递减,⇒g(x)<g(0)=0,不成立
综上,0≤b≤1…(8分)
(Ⅲ) 
有条件知x1,x2为ax2﹣2ax+1=0两根, ,
且  ,
由 成立,
作差得: ,
得 ∴f(x1)+f(x2)<e….12
或由x1+x2=2, ,(可不妨设0<x1<1)
设 (0<x<1),
 在(0,1)单调递增,
h(x)<h(1)=e,
∴f(x1)+f(x2)<e成立.
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想,是一道综合题.
 
[选作题]
22.(10分)已知函数f(x)=|x﹣a|﹣2.
(Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)+|2x﹣3|>0的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|x﹣3|恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.
【专题】计算题;分类讨论;函数思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)化简不等式,利用绝对值的几何意义求解即可.
(Ⅱ)设f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|,转化不等式为a的不等式,求解即可.
【解答】(本大题满分10分)
解:(Ⅰ)函数f(x)=|x﹣a|﹣2.若a=1,
不等式f(x)+|2x﹣3|>0,化为:|x﹣1|+|2x﹣3|>2.
当x≥ 时,3x>6.解得x>2,
当x∈(1, )时,可得﹣x+2>2,不等式无解;
当x≤1时,不等式化为:4﹣3x>2,解得x .
不等式的解集为: …5
(Ⅱ)关于x的不等式f(x)<|x﹣3|恒成立,可得|x﹣a|﹣2<|x﹣3|
设f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|,
因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|,
所以,f(x)max=|a﹣3|
即:|a﹣3|<2
所以,a的取值范围为(1,5)…10
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,不等式恒成立,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
 
[选作题]
23.(Ⅰ)已知x2+y2=1,求2x+3y的取值范围;
(Ⅱ)已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0,求证: .
【考点】不等式的证明.
【专题】选作题;转化思想;演绎法;不等式.
【分析】(Ⅰ)已知x2+y2=1,由柯西公式(x2+y2)(4+9)≥(2x+3y)2,即可求2x+3y的取值范围;
(Ⅱ)由柯西公式[(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2](4+1+1)≥[2(a+1)+(1﹣b)+(1﹣c)]2,即可证明结论.
【解答】(Ⅰ)解:由柯西公式(x2+y2)(4+9)≥(2x+3y)2,
则|2x+3y| ,
∴﹣ ≤2x+3y≤ .
(Ⅱ)证明:由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0,得(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2=3,
由柯西公式[(a﹣1)2+(1﹣b)2+(1﹣c)2](4+1+1)≥[2(a+1)+(1﹣b)+(1﹣c)]2
得证:18≥(2a﹣b﹣c)2,所以 .
【点评】本题考查柯西公式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

编辑者:广州家教广州家教网)